IIR数字带通滤波器设计

数字滤波器设计原理 

       数字滤波器简介

数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统，通过对抽样数据进行数学处理来达到频域滤波的目的。可以设计系统的频率响应，让它满足一定的要求，从而对通过该系统的信号的某些特定的频率成分进行过滤，这就是滤波器的基本原理。如果系统是一个连续系统，则滤波器称为模拟滤波器。如果系统是一个离散系统，则滤波器称为数字滤波器。

信号通过线性系统后，其输出 就是输入信号和系统冲激响应 的卷积。除了外， 的波形将不同于输入波形 。从频域分析来看，信号通过线性系统后，输出信号的频谱将是输入信号的频谱与系统传递函数的乘积。除非 为常数，否则输出信号的频谱将不同于输入信号的频谱，某些频率成分较大的模，因此，中这些频率成分将得到加强，而另外一些频率成分 的模很小甚至为零， 中这部分频率分量将被削弱或消失。因此，系统的作用相当于对输入信号的频谱进行加权。 

        IIR滤波器的设计原理

IIR数字滤波器的设计一般是利用目前已经很成熟的模拟滤波器的设计方法来进行设计，通常采用模拟滤波器原型有butterworth函数、chebyshev函数、bessel函数、椭圆滤波器函数等。 

       IIR数字滤波器的设计步骤：

(1) 按照一定规则把给定的滤波器技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标;

(2) 根据模拟滤波器技术指标设计为响应的模拟低通滤波器;

(3) 很据脉冲响应不变法和双线性不变法把模拟滤波器转换为数字滤波器;

(4) 如果要设计的滤波器是高通、带通或带阻滤波器，则首先把它们的技术指标转化为模拟低通滤波器的技术指标，设计为数字低通滤波器，最后通过频率转换的方法来得到所要的滤波器。

IIR数字滤波器设计方法

IIR数字滤波器是一种离散时间系统，其系统函数为

假设M≤N，当M N时,系统函数可以看作一个IIR的子系统和一个(M-N)的FIR子系统的级联。IIR数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数和 ，它是数学上的一种逼近问题，即在规定意义上(通常采用最小均方误差准则)去逼近系统的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模拟滤波器;如果在z平面上去逼近，就得到数字滤波器。

1.用脉冲相应不变法设计IIR数字滤波器

利用模拟滤波器来设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，这种模仿可以从不同的角度出发。脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应

ha(t)，即将ha(t)进行等间隔采样，使h(n)正好等于ha(t)的采样值，满足 h(n)=ha(nT)

式中,T是采样周期。

如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯变换，H(z)为h(n)的Z变换，利用采样序列的

Z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系得

则可看出，脉冲响应不变法将模拟滤波器的S平面变换成数字滤波器的Z平面，这个从s到z的变换z=esT是从S平面变换到Z平面的标准变换关系式。

图1-1脉冲响应不变法的映射关系

由(1-1)式，数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为

这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即

才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，

而不产生混叠失真，即

但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真，如图7-4所示。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。

图1-2脉冲响应不变法中的频响混叠现象

对某一模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)进行采样，采样频率为fs，若使fs

增加，即令采样时间间隔(T=1/fs)减小，则系统频率响应各周期延拓分量之间相距更远，因而可减小频率响应的混叠效应。