圆周率怎么算

极限概念在圆周率计算中的应用

圆周率(表示为希腊字母π)是一个存在于自然界之中的无理数，是圆周的长度与圆的直径之间的比例常数，人们很早就开始了认识圆周率的过程。 公元前3世纪古希腊著名的数学家、物理学家Archimedes通过正多边形内接于圆，将其边数逐渐地增加来计算圆周的方法求得了圆周率的近似值约为3.14163。巴比伦、印度、中国等长期使用3这个粗略而简单实用的数值，东汉时期官方还明文规定圆周率取...更多

圆周率π是数学常数，它是圆的周长和直径的比，在社会生产与实践中应用是非常广泛的，圆周率的演算精度在某种意义上反映国家的数学水平。

实际上3.1416一般情况下己够用了，这样的计算并没有什么实际上的需要。但究竟是什么原因推动了这种对π的计算狂热呢?

圆周率计算的原因：

1、计算圆周率有各种计算方法，采用同一台计算机，可以比较哪种方法能用较少的工作量算出更高精度的π值。

2、采用同一种计算圆周率的方法，对不同的计算机的能力也是一个比较和考验。

3、希望算出圆周率在小数点后更多的数值来观察和研究π的性质。如圆周率π是有理数，则是一个有限小数，或无限循环小数;如圆周率π是无理数，就是无限不循环小数。大量的计算可看出些端倪，给进一步的严格证明提供启示。

当然也有希望创记录、一举成名的心理因素。以往也常有死背π很多位值的事，以锻炼记忆力。其实这对于圆周率π的研究，己无多大意义。

圆周率的性质：

1767年，兰伯特(H.Lambert)证明了圆周率π是无理数。

1775年，欧拉又提出问题：圆周率π会不会是一个整系数代数方程的根，即是一个代数数呢?如果不是代数数，就称为超越数。

1882年，林德曼(F.vonLindermann)在欧拉提出问题的107年后，证明了圆周率π是一个超越数。

从人类对圆周率π的认识不断深化的历史，可以看出科学是充满活力并不断开拓前进的!

圆周率演算值的初级阶段发生在公元前950年前后，是通过实验为依据，是根据对圆的周长与直径的测量演算得来。在古代人们把等于3长期应用，如基督教《圣经》中取为3，在印度、巴比伦等也长期使用=3这个简约数值。

在《周髀算经》中对圆周率有过“圆周三径一”这样的描述，意思是圆的直径是1，周长大概为3，这说明了人类早期对圆周率的估算，在东汉时期官方公布古率明确规定圆周率等于3，并以此来计算圆的面积。

人类的早期还应用其它不精确的方法来推算圆周率。

古希腊与古埃及人曾经用谷粒摆在圆周之上，以粒数与方形对比的办法获得圆周率，还用质地均匀木板锯得圆形和方形以其重量的比获得值等于获得圆周率的许多值，如古埃及人将圆周率=3.1605使用近四千年，公元前6世纪印度人曾取3.162。

在我国西汉之初王莽命令刘歆造量的容器“律嘉量斛”，在造容器的过程中刘歆就用到圆周率值，为此他通过做实验，获得一些关于圆周率的一组近似值，分别为3.1547、3.1992、3.1498、3.2031，这已比径一周三的古率大大进步了，这种人类经粗糙计算得出圆周率的数据，主要用于计算园田面积，由于圆周率数值不够精确在当时没有产生较大影响，但用这些圆周率值来制造器皿等误差就明显太大了。

通过简易测量的方法演算出的圆周率是很粗略的，阿基米德科学地研究了圆周率，使圆周率的演算发展到中级阶段，他对圆周率的演算建立了数学的方法而非通过测量的手段，将圆周率精确到任意精度，从此使圆周率的演算建立在数学科学为基础。

圆周长界于其外切正四边形与内接正四边形之间，所以4 圆周率，显然这是不精确的，阿基米德将正多边形的边数增加，曾使用了正96边形来演算圆周率，从而使阿基米德所求圆周率的精度越来越高，在他的著作《圆的测定》一书中首次创造性地利用下界与上界来更精确地确定圆周率，利用几何法对圆周长和其直径的比界于与之间进行证明，并得出误差的估计圆周率，此种数学演算方法从理论上讲重要的是所求得的圆周率值更加精确。

阿波罗尼奥斯经长时间的演算得到的圆周率为3.1416，在公元前150年前后由希腊天文学家托勒密获取的圆周率为3.1417，并取得近似值为377与120之比，这些都是自从自阿基米德以后所取得的伟大成就。

我国首先最早在公元263年左右由数学家刘徽得到比较准确的圆周率。刘徽采用当时先进的割圆术得到等于3.14，并提出它是不足近似值，他研究割圆术的时代虽比阿基米德稍晚点，但他与阿基米德相比从方法上更有独到地方，只用圆的内接正n边形可以给出的上界与下界，此做法比阿基米德利用外切与内接正n边形来确定圆周率要简便了许多。

此外刘徽通过对割圆术的研究过程中给出了一种奇妙的计算方法，他把分割成的192边形的若干个粗略的近似值使用简单的加权平均的方法，得到圆周率值的4位有效数字3.1416，对这一结论刘徽曾说过，若使用割圆的方法来计算得到这个数值，就要割至3072边形，此种相对精确的计算方法的效果是神奇的，这种奇特的计算方法是割圆术中最精彩的，可惜的是由于当时人们没能对它有正确理解而未被重视。

我们都知道祖冲之对圆周率所做出巨大贡献，他对圆周率的演算有巨大成就，求得圆周率介于3.1415926和3.1415927之间，其精确度进一步提高，并且求得的两个替代分数，它们分别是约率22/7和密率355/113，他演算出的圆周率有八位，此成果是当时最精确的，在世界上保持了近千年记录，并且在1912年日本数学家三上义夫为纪念祖冲之的研究成果提出将等于355/113叫做祖率。

为什么祖冲之能够获得这个巨大成果?是建立在刘徽割圆术方法基础之上的并对它进行有效的发展与传承，所以对祖冲之的成就大加赞誉时，要清楚他是站在数学大师刘徽的有力的臂膀之上的原因，若要只利用演算圆的内接多边形边长这种方法想获得这个精确结论，后人做过推算，它需要演算至少圆内接正12288边形才可以获得这一精确度值。

祖冲之创造出的成就在世界上享有盛誉，比如我国已发行纪念他的邮票，人们于1964年11月9日在紫金山天文台观测到的小行星取名为祖冲之星，苏联人于1959年观测到的月球环形山脉取名祖冲之山，法国在发现宫的科学博物馆内墙壁之上撰文专门表述祖冲之的伟大功绩，在苏联莫斯科大学的走廊里矗立着祖冲之的大理石雕塑。

祖冲之表示圆周率选择用两个简单的分数，一般情况下不会引起人们的注意，但是这点在数学上具有极其有重要的意义，与密率(只用到了1、3、5这三个数字)的近似度很接进，它在形式上却十分简并很优美，有数学家专门做了验证后得出：在所有分数中当分母不大于16603时没有发现其它分数比密率更趋近于，西方人取得这个成果是在祖冲之之后的一千多年，可以坦率的讲祖冲之获得密率是一件非常了不起的事情。

我们再来研究一下国外对圆周率所作出的贡献：

印度阿耶哈达在公元450年左右获得圆周率=3.1416;

中亚与西亚地区在1424年前后由数学家卡西经过演算805306368个内接与外切正多边形的周长，最终得到圆周率=3.14159265358979325，这个圆周率有十个有效数字从而首次突破由祖冲之所创造的记录;

法国在16世纪由数学家韦达运用阿基米德的演算方法，采用216×6个正边形计算得到有9位有效数字的圆周率，他仍沿袭了阿基米德的研究方式，由于他采用了十进位制数，从而使韦达有了先进的工具，也获得了更高精度的圆周率;

德国数学家鲁道夫在17世纪用一生的时间来研究圆周率，他采用十进制数并与阿基米德的研究方法相结合，他开始时未从正六边形入手并把它的边数增倍，而是从正四边形入手一直推出262条边的正多边形，最多达到大概4610000000000000000边形，经计算得出圆周率中有36个有效数字，在德国为缅怀他作出的这一伟大成就固把命名为“鲁道夫数”。

前面讲了运用几何法求圆周率，它的计算繁杂，会穷尽数学家一生的心血，鲁道夫的计算已经到了巅峰，古典方法再不能向前推进了，在17世纪数学分析的发现促使的演算过程也进入全新的历程。

利用分析法求圆周率的时期是通过无穷级数来计算，它已经突破求多边形周长的繁杂演算过程，此时对已给出精确表示与充分的理性认识。

1579年数学家韦达得出的最早分析表达式，公式中仅出现数字2，使用乘、除、开平方与加法等系列的运算就得出圆周率;

创建微积分的数学家牛顿提出分析表达式，牛顿运用这个公式大大简化了圆周率的计算过程;

数学家亚伯拉罕·夏普于1699年运用詹姆斯的结论算出圆周率有72位有效数字;

数学家梅钦于1706年提出的表达式，他运用级数展开的方法计算圆周率到小数点后100位，为纪念他的成果，表达式以他的名字来命名;

法国代·拉尼于1719年把圆周率精确到小数点后第112位;

德国兰伯特于1767年经过证明提出圆周率是无理常数;

法国勒让德于1794年再经过证明得出也是无理数;

达塞于1844年运用公式对圆周率取得第200位小数的成就;

在1853年德国卢瑟福竟然把圆周率精确至小数点后的400位;

在1882年由德国林德曼提出并得到证明为超越数，它不是整系数代数方程的解，从此解决了困扰人们近二千年的数学难题即不可化圆为方，从而极大的突破了对认识;

在1873年由美国菲格森把圆周率精确至小数点后的710位;

佛格森与小伦奇于1947年共同研究并得到圆周率的小数点后的808位，创造了用人工计算圆周率的世界最高记录。

求圆周率不同的类似公式在19世纪后出现很多，精确度也越来越高：

谢克斯在1873年运用梅钦的级数公式把计算至小数点后707位，他用了20年时间才获得这项世界纪录，为歌颂他顽强精神与坚韧毅力，人们在他去世后把凝聚他一生心血圆周率刻在他的墓碑之上，他获得的这个举世的成就成为以后74年内为人们深信不疑的最高记录。

数学家弗格森在若干年后对谢克斯的计算有疑虑，他大胆地进行了猜想，圆周率中虽然数字的排列确实不存在规则，但各个数字出现的几率似乎相近，于是他对谢克斯的圆周率做了统计后提出数字的出现并不均等，于是使他产生了怀疑。

从1944年至1945年的一年时间内他采用了当时最优秀的计算手段进行计算，找到从第528位开始是错误的，之后的一百多位数字全部有问题，谢克斯的大半成果就这样被无情地一笔抹去了，但谢克斯作为毅力坚强的计算者自愿献出大半生精力从事圆周率的计算工作而无报酬，这种在数学上的不懈追求精神是值得我们学习的。

世界上首台计算机ENIAC于1946年问世，随着电脑时代的开启出现了计算方面的根本革命，1949年在计算机上根据梅钦的计算公式将圆周率计算至小数点后2035位，计算时间仅为70小时，由于计算机的发展速度非常快，导致圆周率的计算记录被一次次打破。

印度数学家拉马努金在19世纪初提出一个高效的计算圆周率的数学公式，由于公式中出现四次方导致它高速趋近于的真实值，每一步计算都可以增长8位有效数字，1985年人们使用这个公式对圆周率进行计算后得到小数点后一千七百万位数字;

法国裘努埃于1959年运用IBM704将圆周率计算至小数点后16167位;

美国香克斯与伦奇于1961年运用IBM7097将圆周率计算至小数点后100265位;

法国吉劳在1966年运用STRETCH将圆周率计算至小数点后250000位;

法国吉劳在1967年运用CDC6600把圆周率计算至小数点后500000位;

法国吉劳在1973年把圆周率计算至100万位小数，并把此成果编成世界上最枯燥的二百页的书;

日本鹿角理三吉与久仲山于1981年运用FACOMM-200利用公式把圆周率计算到小数点后2000038位;

美国贝利在1986年利用Cray-2只耗费28小时就将圆周率计算到小数点后29360000位;

日本廉正蒲田在1986年使用NECSX-2把圆周率计算至小数点后134217700位，并在1989年对圆周率的计算攻破10亿位;

日本在1994年运用数学公将圆周率精确至小数点后40亿位，并在1995年已突破64亿位。

在20世纪90年代数学家创造出的“水龙头”计算法，对圆周率在原有数字的基础之上运用递推方式可以计算出后继的数字，电脑专家们还创造出十分有意义、有效的公式，运用此公式得到了特殊的结果，即在十六进制数中第位数字可独立计算出来，而无需得出位之前的数字，比如不必计算出的100万位之前的数字，就可知道第100万位的数字。

日本东京大学教授金田康于1999年对圆周率已获得小数点后2061.5843亿位，据最新消息讲他正使用超级计算机算得圆周率的小数点后一兆二千四百一十一亿位，改写了两年前由他创造的纪录，现在虽然打破记录，但不管推进至多少位也不至令人感到惊喜。

事实上将圆周率算得如此精确其应用的作用已不大，在科技方面所运用圆周率有十多位就已足够了，若运用鲁道夫得出的仅36位有效数字的圆周率来演算能将太阳系包括在内圆的周长，其误差不足于质子直径的1/1000000。